як розкласти у ряд функцію
Називається функціональним рядом відносно незалежної змінної. Послідовність функцій. Відповідно — функціональною послідовністю. Важливе значення у математиці мають функціональні ряди спеціального вигляду, такі як степеневі, коли функція. Нехай задана послідовність функцій. Розклад в ряд маклорена деяких функцій. Таблиця розкладу деяких функцій у ряд маклорена. Застосування степеневих рядів. Наближене обчислення функцій. Наближене обчислення інтегралів. Наближене розв язання диференціальних рівнянь. Теорема (про єдине розкладання функції в степеневий ряд). Нехай функція y=f(x). Функциональные ряды сходятся к функциям. В частности, суммой ряда в его области сходимости является некоторая функция. Еще раз подчеркиваю, что данный факт справедлив только для найденной области, вне этого промежутка степенной ряд будет расходиться. Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками. Примеры разложения функций в ряд маклорена. Нет, мучаться с нахождением производных не придется, мы будем пользоваться таблицей. Знайти її похідні; 2. Обчислити значення похідних у точці (для ряду маклорена); 3. Формально скласти ряд тейлора (маклорена); 4. Знайти область збіжності отриманого ряду; 5. Дослідити залишковий член ряду при. Якщо, то для функції справедлива рівність (7. Ряд маклорена для функції має вигляд. Такий ряд збіжний на всій числовій прямій. Тому справедлива рівність. Розкласти в ряд маклорена функцію y = sec x та знайти. Його область збіжності. Розглянемо випадок, коли підінтегральну функцію можна розкласти в степеневий ряд. Такий ряд можна почленно проінтегрувати, використавши відповідну властивість степеневих рядів. Одержаний ряд дає точне значення інтеграла. Наближене значення дорівнює частковій сумі. Похибку обчислень визначають так само, як і при знаходженні значень функцій. Обчислити інтеграли, розклавши підінтегральну функцію. Наближене обчислення значень функцій за допомогою рядів. Степеневі ряди є вельми важливим апаратом для табулювання функцій, бо їхнє застосування дозволяє звести задачу обчислення значень функцій до задачі обчислення полінома, тобто до виконання арифметичних операцій. Нехай потрібно обчислити значення функції f(x) при х = х 1 із заданою точністю. Точність цієї рівності збільшується із зростанням n. Можна розкласти в ряд тейлора на цьому інтервалі. F (x) = f б(x) = f бб(x) = f ббб(x) =. = f (n) (x) = ex f (0) = f б(0) = f бб(0) = f ббб(0) =. Використовуючи розклади функцій у ряд; вміти. самостійно розбиратися у математичному апараті, який знаходиться у спеціальній літературі; - обирати методи дослідження і доводити розв’язки задач до практичного результату; - робити перевірку одержаних результатів; - використовувати комп’ютерні технології, таблиці та довідкові матеріали. З метою забезпечення указаних знань, умінь та навичок створено даний посібник, який призначений студентам втузів усіх форм навчання. У ньому підібрані задачі і приклади, які достатньо повно ілюструють різні положення теорії рядів і методи розв’язання задач з їх. Якщо в ряді тейлора покласти, то отримаємо розкладання функції за ступенями в так званий ряд маклорена. Відзначимо, що ряд тейлора можна формально побудувати для будь - якої нескінченно диференціюється (це необхідна умова) в околиці точки. Але звідси ще не випливає, що він буде сходитися до даної функції; він може виявитися розходяться або сходиться, але не до функції. У наступній теоремі (яку приймемо без доведення) сформульовано необхідна і достатня умова збіжності ряду тейлора до функції. А непарну функцію можна розкласти тільки в ряди з синусів. Стаття 13 від 30 червня 2003 року (визначення спрощених процедур отримання інформації та згоди на використання файлів cookie) 8 травня 2014 р без cookie неможливо нормальне функціонування нашого сайту.
Відповідно до законодавства європейського союзу, ми повинні попередити вас, що наш сайт використовує cookie, і без нього ви не зможете в повній мірі використовувати наш сайт в своїх цілях. Щоб отримати розклади у ряд маклорена функцій, що. Добутком або часткою інших функцій, наприклад. Тому підінтегральну функцію розкладемо у степеневий ряд (замінивши у формулі. (9) x на x2) і перевіримо, чи належить відрізок інтегрування області збіжності цього ряду.
Щоб розкласти функцію f(x) у степеневий ряд. Степенями (x - x0), необхідно знайти вираз для кожної n - ої похідної від функції. F(x), обчислити похідні в точці x=x0 і записати ряд тейлора у вигляді (18). Наведемо ряди маклорена для основних елементарних функцій. Функції комплексної змінної. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Навчальне видання ряди. Операційне числення конспект лекцій. Для студентів іі курсу технічних спеціальностей. Розкладання елементарних функцій в ряд маклорена. Наближені обчислення за допомогою степеневих рядів. Досі ми вивчали властивості суми заданого степеневого ряду.
Вважатимемо тепер, що функція задана, і з ясуємо, за яких умов цю функцію можна подати у вигляді степеневого ряду і як знайти цей ряд. Називається рядом тейлора функції. Отже, доведено таку теорему.
) — довільна нескінченне число разів диференційовна функція. Складемо для неї ряд (2. Бесплатно найти реферат розклад функцій в степеневий ряд. Достатні умовирозкладу в ряд тейлора. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення в полном объеме.
Подамо функцію у вигляді. Якщо, то другий доданок в останньому виразі можна розглядати як суму нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом і знаменником. Наступна теорема дає розв’язок задачі. Розкласти функцію, що аналітична в кільці, в узагальнений степеневий ряд. Теорема 1 (теорема лорана). Нехай функція – аналітична в круговому кільці з центром у точці. Тоді вона може бути однозначно подана у цьому кільці збіжним узагальненим степеневим рядом лорана , де – довільний замкнений контур, що охоплює внутрішнє коло і повністью лежить у кільці. Якщо функція f парна на відрізку, то її ряд фур’є на цьому відрізку містить лише вільний член і косинуси, тобто (3). Якщо - непарна функція, то її ряд фур’є містить лише синуси. Тоді дістанемо неповний ряд фур’є, який містить лише косинуси або синуси. Розкласти функцію в ряд фур’є на відрізку.
Користуючись одержаним розкладом, показати, що. Задана функція задовольняє достатню умову розкладання в ряд фур’є. Вона парна, тому її ряд містить лише косинуси і вільний член (див. Визначимо коефіцієнти за формулою (4), покладаючи. Обчислимо останній інтеграл частинами, покладаючи. Згідно з формулою (3), дістанемо такий розклад.
Коментарі
Дописати коментар